Pas la somme de deux nombres premiers - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) . Montrer que l'entier \(22n+13\) ne peut pas s'écrire comme somme de deux nombres premiers.

Solution

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe deux nombres premiers \(p\) et \(q\) tels que \(22n+13=p+q\) .

Il est clair que l'entier \(22n+13\) est impair (car c'est la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair). Par conséquent, \(p\) et \(q\) ne peuvent pas être tous deux impairs, donc l'un est pair, autrement dit égal à \(2\) . Quitte à échanger \(p\) et \(q\) , on peut supposer que \(q=2\) .

On a alors  \(\begin{align*}22n+13=p+2& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 22n+11=p\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 11(2n+1)=p\end{align*}\)   
donc \(11\) divise \(p\)  et, comme \(p\) est premier, on a nécessairement \(p=11\) .

Finalement, l'égalité \(22n+13=p+q\) s'écrit \(22n+13=11+2=13\) , donc \(22n=0\) , et donc \(n=0\) , ce qui est absurde car \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

Ainsi, \(22n+13\) ne peut pas s'écrire comme somme de deux nombres premiers.